Online Monty Hall Problem Simulation with JSCode

蒙提霍爾問題(Monty Hall Problem)是一個經典的條件機率問題,大致上的遊戲規則如下:參賽者(Guest)會看見三扇關閉的門,其中一扇的後面有一輛汽車(Car),選中後面有車的那扇門就可以贏得該汽車,而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊(Goat)。當參賽者選定了一扇門且未去開啟它的時候,知道門後情形的節目主持人(Host)會開啟剩下兩扇門的其中一扇,露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。問題是:換另一扇門會否增加參賽者贏得汽車的機率?

用貝氏定理來解決條件機率問題

依照貝氏定理(Bayes' Theorem)所展示,P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)。其中各項函式代表意義是:

  1. P(A|B):在B事件已經發生的情況下,A事件發生的機率。
  2. P(B|A):在A事件已經發生的情況下,B事件發生的機率。
  3. P(A):沒有任何前提下,A發生的機率。
  4. P(B):沒有任何前提下,B發生的機率。

P(A|B) = (1/2 * 1/3) / 1/2 = 1/3,也就是說,如果你堅持不換門的話,抽到汽車的機率只有1/3,如果換門的話,可以提升到2/3。這是貝氏定理跟我們講的事情,我相信大部的人的還是堅持無論如何機率都是1/2。沒錯,這是我們大腦依據最短路徑跟我們講的結果,所以下面我們就開始寫一隻程式來跑模擬吧!

Monty Hall Problem Simulation

Please input numbers to simulate and click "Experimentation" button.

Result for decide to non-Switch

Result for decide to Switch

實驗結果

經過上面的模擬,結果已經很明顯了,當使用者面對這樣的條件狀況下,選擇切換(Switch、Change)的方式,以機率的角度來說才是對你最有利(2/3 > 1/3)。下這樣的結論,也對,也錯!因為條件機率永遠是處於「主觀」的角度而「非客觀」。這樣說好了,如果你通過了步驟A(選擇了一扇門,主持人開啟另一扇一定是Goat的門),這時候從天上掉下來一位陌生人且完全搞不清楚之前的狀況,面對是否在這兩扇門間切換,請問這個陌生人抽到Car的機率是?答案肯定是1/2。因為對陌生人來說,因為沒有之前的條件(完全狀況外),因此主觀的判定是1/2中獎機率。對你來說,因為你經歷過之前的步驟A,所以你主觀的判定切換門扉可以達到2/3的中獎機率,請問誰對誰錯?誰的主觀意見才是真正最公平的「客觀」?

這個經典的條件機率的遊戲,我學習到了下列事情:

感覺突然哲學起來了!話不多說了,接下來是程式碼的大放送時間。

Monty Hall Problem Simulation with JavaScript Source Code

You can also view HTML/JavaScript source code of this webpage.

<html>
	<head>
		<meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=utf-8">
		<script src="http://code.jquery.com/jquery-2.1.4.min.js"></script>
		<title>Monty Hall Problem Simulation with JavaScript Source Code</title>
	</head>
	<body>
		<div id="probabilityForSwitch"></div>
		<div id="probabilityForNonSwitch"></div>
		
		<script>
			//亂數種子函式(seedrandom.min.js)
			!function(r,n,t,e,o,i,u,a,f){function c(r){var n,t=r.length,o=this,i=0,u=o.i=o.j=0,a=o.S=[];for(t||(r=[t++]);e>i;)a[i]=i++;for(i=0;e>i;i++)a[i]=a[u=m&u+r[i%t]+(n=a[i])],a[u]=n;(o.g=function(r){for(var n,t=0,i=o.i,u=o.j,a=o.S;r--;)n=a[i=m&i+1],t=t*e+a[m&(a[i]=a[u=m&u+n])+(a[u]=n)];return o.i=i,o.j=u,t})(e)}function p(r,n){var t,e=[],o=typeof r;if(n&&"object"==o)for(t in r)try{e.push(p(r[t],n-1))}catch(i){}return e.length?e:"string"==o?r:r+"\x00"}function l(r,n){for(var t,e=r+"",o=0;o<e.length;)n[m&o]=m&(t^=19*n[m&o])+e.charCodeAt(o++);return g(n)}function s(t){try{return h?g(h.randomBytes(e)):(r.crypto.getRandomValues(t=new Uint8Array(e)),g(t))}catch(o){return[+new Date,r,(t=r.navigator)&&t.plugins,r.screen,g(n)]}}function g(r){return String.fromCharCode.apply(0,r)}var h,y=t.pow(e,o),d=t.pow(2,i),v=2*d,m=e-1,j=t["seed"+f]=function(r,i,u){var a=[];i=1==i?{entropy:!0}:i||{};var h=l(p(i.entropy?[r,g(n)]:null==r?s():r,3),a),m=new c(a);return l(g(m.S),n),(i.pass||u||function(r,n,e){return e?(t[f]=r,n):r})(function(){for(var r=m.g(o),n=y,t=0;d>r;)r=(r+t)*e,n*=e,t=m.g(1);for(;r>=v;)r/=2,n/=2,t>>>=1;return(r+t)/n},h,"global"in i?i.global:this==t)};if(l(t[f](),n),u&&u.exports){u.exports=j;try{h=require("crypto")}catch(w){}}else a&&a.amd&&a(function(){return j})}(this,[],Math,256,6,52,"object"==typeof module&&module,"function"==typeof define&&define,"random");
			//設定亂數種子
			Math.seedrandom();
			//總共實驗次數
			var iLoop = 1000000;
			//在交換演算法中猜對的次數
			var iSwitchCount = 0;
			//在非交換演算法中猜對的次數
			var iNonSwitchCount = 0;
			//開始模擬
			for(i=0; i<iLoop; i++) {
					//亂數指定[0,1,2]哪個門後是車子
					var iAnswer = Math.floor(Math.random() * 3);
					//亂數產生使用者指出[0,1,2]哪道門
					var iGuest = Math.floor(Math.random() * 3);
					//主持人知道答案,因此故意去開[0,1,2]一定是羊的門
					var iHost;
				while(true) {
					 iHost = Math.floor(Math.random() * 3);
					 if((iHost != iGuest) && (iHost != iAnswer)) { break; }
					}
				//計算結果(非交換)
					if(iGuest == iAnswer) { iNonSwitchCount++; }
					//改採用交換法則
					switch(iHost) {
							case 0:
									if(iGuest == 1) { iGuest = 2; }
									else { iGuest = 1; }
									break;
							case 1:
									if(iGuest == 0) { iGuest = 2; }
									else { iGuest = 0; }
									break;
							case 2:
									if(iGuest == 0) { iGuest = 1; }
									else { iGuest = 0; }
									break;
					}
					//計算結果(交換)
					if(iGuest == iAnswer) { iSwitchCount++; }
			}
			$("#probabilityForSwitch").text((iSwitchCount / iLoop) * 100);
			$("#probabilityForNonSwitch").text((iNonSwitchCount / iLoop) * 100);
		</script>
	</body>
</html>
MontyHallProblem Simulation Simulator Experimentation Lab Probability SourceCode