統計:一個簡單的幾何平均數的運算範例

幾何平均數相較於生活中最常用到的算術平均數(Arithmetic Average)而言,來的比較難計算(以人類徒手計算的觀點),但是在某些情況下,卻更能夠抵抗雜訊(凸波)的干擾,更真實的反映出人類期望看到的狀態。

舉例來說,想要依照收入來換算平均一個國家的人民的幸福指數,假設這個國家的中產階級(鐘型曲線中間)年收入約為80萬,可能在尾端年收入10萬的人,其心目中感到的幸福指數,不見得一定是中產階級的0.125倍而已。同樣的道理,可能這個國家的頂級富豪年收入是1億,其心中的幸福指數,也不可能是中產階級的125倍。這鐘型曲線的兩端,都是屬於統計上面的雜訊,透過幾何平均計算,我們可以將平均值取得「較不為那麼敏感」。

簡單的說,如果有一個數列接近自然分布,那麼幾何平均數的意義會更具有參考價值。幾何平均數的公式如下所示:

幾何平均數(Geometric mean)的「單純數列」計算範例

假設有一個數列為「1、4、5、6、7、3、8、4、9」,那麼其算術平均數(X̄)為:5.2,其幾何平均數的計算過程如下所示:

1 x 4 x 5 x 6 x 7 x 3 x 8 x 4 x 9 = 725760
725760 ^ (1/9) = 4.48(GM)

幾何平均數(Geometric mean)的「定存年利率」計算範例

假設有一個銀行,其定存利率的變化過程為:1.5%維持2.3年、2.1維持1.2年、1.8維持0.8年、1.75維持1.5年,其幾何平均年利率為:

(1.015 ^ 2.3) X (1.021 ^ 1.2) X (1.08 ^ 0.8) X (1.075 ^ 1.5) = 4.238
4.238 ^ (1/(2.3 + 1.2 + 0.8 + 1.5)) = 1.282%(GM)

幾何平均數(Geometric mean)的「年化報酬率」計算範例

年化報酬率(Annualized Rate of Return)一直是投資理財的重點計算方法,而幾何平均數在這邊被利用的有點巧妙,有經過前面幾個範例的介紹,應該都可以看出一點,就是幾何平均不適用「負值」,因為在相乘運算過程的正負之間會影響到結果的判讀。然而哪個投資不會虧損?總會有幾年的報酬率是負數的吧?因此我們會透過先統一+1,之後結果再去統一減去1的技巧,來將負值的詭異點破除。

小明去年五年之間,每一個年度的投資報酬如下:

第一年  10%
第二年   8%
第三年 -12%(大虧)
第四年   5%
第五年   7%

計算小明這五年的年化報酬率為:

//先統一將每年的報酬率加一消除負獲利,再將其相乘。
1.1 X 1.08 X 0.88 X 1.05 X 1.07 = 1.174
1.1745 ^ (1/5) = 1.032
//將計算出來的幾何平均值減去一,回歸正常
1.032 - 1 = 3.2%

所以小明的年化報酬率是3.2%喔,看起來也是還好而已嘛!:P

Calculate GeometricMean ArithmeticAverage AnnualizedRateOfReturn